Simulation et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Au programme (B.O.) :

Calculer la probabilité de $ |S_n - pn| > \sqrt{n}$, où $S_n$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$.

Comparer avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Parite 1: avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On considère la variable aléatoire $S_n$ suivant une loi binommiale de pramètres $n$ et $p$.

1. Donner l'espérance et la variance de $S_n$ en fonction de $n$ et de $p$.

2. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité

$\quad \quad P\left(S_n - E(S_n) > \sqrt{n} \right)$.

3. On se place dans le cas \(p = \dfrac{1}{2}\).
Déterminer une majoration de la probabilité $P\left(S_n - E(S_n) > \sqrt{n} \right)$.

Parite 2: simulation avec un programme Python

1. Utiliser le programme ci-dessous pour déterminer numériquement $ |S_n - pn| > \sqrt{n}$

import random as rd from math import sqrt def binomiale(n,p): succes = 0 for i in range(n): if rd.random() < p: succes = succes + 1 return succes def peutmieux(n,p): compteur = 0 for i in range(1000): if abs(binomiale(n,p)-n*p ) > sqrt(n) : compteur = compteur + 1 return compteur/1000 Exécuter

Console

2. Comparer avec ce qui a été obtenu avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (Partie 1).