Un objectif général inchangé …
- Modéliser des situations avec des outils probabilistes
- Comprendre les lois du hasard : (loi des grands nombres)
- Maîtriser leurs fluctuations.
- Exploiter et interpréter des simulations.
… une nouvelle optique
La spécialité s’adresse aux futurs scientifiques rigueur de la réflexion, abstraction, rôle de la démonstration.Élimination de ce qui n’est pas assez explicite, démarche conditionnée sans compréhension, des simples applications variables à densité, Moivre-Laplace, prise de décision.
Focalisation sur les démonstrations pour un raisonnement complet.
Les simulations donnent du sens, elles ne représentent pas une justifification.
Avant 2021
Après 2021
Un théorème que l’on ne verra plus
Le théorème de Moivre-Laplace
Pourquoi ?
Une « boîte noire » utilisée aveuglément,
La loi normale est inaccessible à la démonstration,
Le théorème de Moivre-Laplace encore plus,
Le sens échappait aux élèves.
Conséquences
La loi normale (et les variables à densité) disparaissent des programmes
Les intervalles de confiance et de fluctuations
$$\left[𝑝 − 𝑢_𝛼\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \, , \, 𝑝 + 𝑢_𝛼\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$
Image approx bino
Structure des anciens Programmes
Cycle 4 :
On observait la stabilisation des fréquences
(la fréquence converge en probabilité vers 𝑝).
Seconde :
On observait que (aucun argument) (aucun argument)
1 ère
On montrait que
suit une loi binomiale 𝐵 𝑛,𝑝 (arbres)
Terminale :
On montrait que
suit asymptotiquement une loi normale (Moivre- - Laplace, admis)
On en déduisait que
Structure des nouveaux programmes
Cycle 4 : On observe la stabilisation des fréquences (la fréquence 𝐺𝑛 converge en probabilité vers 𝑝). Seconde et 1 ère: Mise en place du formalisme– Arbres,
– indépendance
– Variables aléatoires finies
Terminale :
– On introduit la variance
– On démontre l’inégalité de Tchebychev en général
– en déduit l’inégalité de concentration qui contrôle l’écart entre 𝑋 𝑛 et 𝜇 (LGN)
La variance
Un indicateur de dispersion relatif
Soit $$X$$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ alors
$$ V(X) = E[(X-\mu)^2]$$
C’est un indicateur de dispersion.
■ On peut comparer les fluctuations de deux variables aléatoires:
– Si V(X) > V(Y) alors X fluctue plus autour de sa moyenne que Y
■ Mais comment interpréter ses valeurs dans l’absolu ?
– Que peut-on dire si, par exemple, 𝑉 𝑋 = 4?
GALTON BINO TCHEBYCHEV PILE FACE PSEUDO ALEA POISSON GEO UNIFORME
| Calcul de probabilités |
Variables aléatoires | Lois de probabilités |
Satistiques descriptives |
Satistiques inférentielles |
|
|---|---|---|---|---|---|
| Cycle 4 | Vocabulaire Tableaux croisés Equiprobabilité |
Effectifs, fréquences Moyenne non pondérée Médiane Etendue |
|||
| Seconde | Formalisme ensembliste Crible Arbres de dénombrement |
Pourcentages de pourcentages Moyenne pondérée Ecart interquartiles Ecart-type |
Principe fréquentiste Fluctuations: $$p \pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}$$ |
||
| Spécialité première |
Conditionnement Indépendance Arbres pondérés Formule de Bayes |
V.a. finies Loi Espérance Variance |
Tableaux croisés | $$P \left(|\overline{X_n} - \mu|< \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ | |
| Spécialité terminale |
Schéma de Bernoulli | $E[aX+Y \,]$ $var(aX+Y \,)$ Inégalité de Tchebychev $E[XY]$ (appro) |
$\mathcal{B}(p)$ $\mathcal{B}(n\,;p)$ $\mathcal{G}(p)$ appro $\mathcal{P}(\lambda)$ appro |
Inégalité de concentration Loi des grands nombres Fluctuations pour $\mathcal{B}(n\,;p)$ $P \left(|\overline{X_n} - \mu|< \dfrac{k\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ |
|
| Mathématiques complémentaires |
Schéma de Bernoulli | V.a à densité Fonction de répartition Espérance Variance |
$\mathcal{U}([\![1,n]\!])$ $\mathcal{B}(p)$ $\mathcal{B}(n\,;p)$ $\mathcal{G}(p)$ $\mathcal{U}([a,b])$ $\mathcal{E}(\lambda)$ |
Nuages de points Moindres carrés |
Fluctuations pour $\mathcal{B}(n\,;p)$ |
| Mathématiques expertes |
Marches aléatoires | Chaînes de Markov |